Trigonometri, Deret Aritmatika, Deret Geometri, Relasi Fungsi.

Rumus-Rumus Trigonometri : PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b) sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b tg(a + b ) = tg a + tg b 1 - tg2a SELISIH DUA SUDUT (a - b) sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b tg(a - b ) = tg a - tg b 1 + tg2a SUDUT RANGKAP sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos2a - sin2 a = 2 cos2a - 1 = 1 - 2 sin2a tg 2a = 2 tg 2a 1 - tg2a sin a cos a = ½ sin 2a cos2a = ½(1 + cos 2a) sin2a = ½ (1 - cos 2a) Secara umum : sin na = 2 sin ½na cos ½na cos na = cos2 ½na - 1 = 2 cos2 ½na - 1 = 1 - 2 sin2 ½na tg na = 2 tg ½na 1 - tg2 ½na JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b 2 2 sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b 2 2 cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b 2 2 cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b 2 2 BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN 2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) - 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b) PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA Bentuk a cos x + b sin x Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a) a cos x + b sin x = K cos (x-a) dengan : K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ? Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut I II III IV a + - - + b + + - - keterangan : a = koefisien cos x b = koefisien sin x PERSAMAAN I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360° x2 = (180° - a) + n.360° cos x = cos a Þ x = ± a + n.360° tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat) II. a cos x + b sin x = c a cos x + b sin x = C K cos (x-a) = C cos (x-a) = C/K syarat persamaan ini dapat diselesaikan -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar) misalkan C/K = cos b cos (x - a) = cos b (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360° Deret Aritmatika : BARISAN ARITMATIKA U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1 Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b U1, U2, U3 ............., Un Rumus Suku ke-n : Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n DERET ARITMATIKA a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika. a = suku awal b = beda n = banyak suku Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n Jumlah n suku Sn = 1/2 n(a+Un) = 1/2 n[2a+(n-1)b] = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n) Keterangan: Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn") Barisan aritmatika akan naik jika b > 0 Barisan aritmatika akan turun jika b <> Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn" Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b Barisan dan Deret Geometri : BARISAN GEOMETRI U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r) Rasio r = Un / Un-1 Suku ke-n barisan geometri a, ar, ar² , .......arn-1 U1, U2, U3,......,Un Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n) DERET GEOMETRI a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri a = suku awal r = rasio n = banyak suku Jumlah n suku Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1 = a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n) Keterangan: Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku Un > Un-1 Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku Un <>n-1 Bergantian naik turun, jika r <> Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah _______ __________ Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U1 + U2 + U3 + .............................. ¥ å Un = a + ar + ar² ......................... n=1 dimana n ® ¥ dan -1 <> sehingga rn ® 0 Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat : Jumlah tak berhingga S¥ = a/(1-r) Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 <> Catatan: a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ................. Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²) Jumlah suku-suku pada kedudukan genap a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r² Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r PENGGUNAAN Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal) M0, M1, M2, ............., Mn M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0 M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0 . . . . Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0 Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir) M0, M1, M2, .........., Mn M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0 M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0 = (1 + P/100)² M0 . . . Mn = {1 + P/100}n M0 Keterangan : M0 = Modal awal Mn = Modal setelah n periode p = Persen per periode atau suku bunga n = Banyaknya periode Catatan: Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p <> FUNGSI DAN GRAFIKNYA Konsep Fungsi Definisi: Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B Dengan diagram panah dapat ditunjukkan bahwa : Ini adalah fungsi, sebab setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota B Ini bukan fungsi, sebab ada anggota himpunan A yaitu 2 yang tidak dipasangkan dengan anggota B Pada diagram panah berikut : Himpunan A = {1 , 2 , 3 } dinamakan Domain / daerah asal Himpunan B = { a , b , c } dinamakan Kodomain / daerah kawan Himpunan { a , b } dinamakan Range / daerah hasil Pemasangan yang terjadi oleh fungsi f adalah : Fungsi f memetakan semua anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B,yaitu : f : 1 → b f : 2 → a f : 3 → b Notasi dan Rumus Fungsi Jika suatu fungsi f memetakan setiap x anggota himpunan A ke y anggota himpunan B, maka dapat ditulis dengan notasi fungsi yaitu: f : x → y Fungsi f seperti dalam notasi tersebut di atas dapat juga dituliskan rumus fungsinya, yaitu: f(x) = y Contoh : Diketahui himpunan A = { 1, 2, 3 } dan B = { 4, 5, 6,7,8 }. Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B. a Nyatakan fungsi tersebut dengan diagram panah b Nyatakan notasi fungsi tersebut c Nyatakan rumus fungsi tersebut d Nyatakan daerah asal e Nyatakan daerah kawan f Nyatakan daerah hasil Jawaban : Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B. a. diagram panah b notasi fungsi adalah f : x → x + 4 c rumus fungsi adalah f (x) = x + 4 d daerah asal adalah { 1, 2, 3 } e daerah kawan adalah { 4, 5, 6, 7, 8 } f daerah hasil adalah { 5, 6, 7 } Pada materi ini akan di bahas fungsi linear dan fungsi kuadrat. Bentuk umum fungsi linear adalah f (x) = ax + b dengan a ≠ 0 a. adalah koefisien x b. adalah koefisien suku tetap/constanta Contoh : 1. f (x) = x dengan nilai a = 1 dan b = 0 2. f (x) = 2x – 3 dengan nilai a = 2 dan b = -3 Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f (x) = ax2 + bx + c dengan a ≠ 0 a. adalah koefisien x2 b. adalah koefisien x c. adalah koefisien suku tetap/konstanta Contoh : 1. f (x) = x2 dengan nilai a = 1, b = 0 dan c = 0 2. f (x) = -2x2 + 3x dengan nilai a = -2 , b = 3 dan c = 0 3. f (x) = 3x2 – 2x + 1 dengan nilai a = 3, b = -2 dan c = 1